伯努利方程的應用分析

流體流動的基本原理是化工原理課程的重要基礎，因其不僅是流體輸送、攪拌、沉降及過濾的理論基礎，也是傳熱與傳質過程中各單元操作的理論基礎。而伯努利方程及其應用是流體流動zui核心的內容，因此，掌握伯努利方程及其應用對于學好化工原理課程極為重要。

在化工原理課程的教學實踐中，伯努利方程及其應用一直被認為是貫穿整個教學過程的重點和難點。關于對伯努利方程的理解已有很多文獻報道，本文在此不過多介紹。為了幫助學生更好地掌握伯努利方程應用，本文針對學生在學習中可能會遇到關于伯努利方程應用的問題，對其進行系統的討論分析，希望對學習者有所幫助。

1、伯努利方程

伯努利方程描述的是理想流體流動過程中機械能守恒的問題，其中不存在機械能損失，只涉及流體動能、位能和靜壓能之間的相互轉換。但化工生產中很多流體都是實際流體，其流動過程中一部分機械能因內摩擦力而轉化為內能，使得流體流動過程機械能不守恒。為保證流體的穩定連續流動，通常采用泵做功的方式向流體補充相應的機械能，其衡算關系為:

式( 1) 、( 2) 和( 3) 均為實際流體機械能衡算式，習慣上也稱為實際流體的伯努利方程式( 下文中伯努利方程均指實際流體的伯努利方程) 。3 個衡算式只是能量衡算基準不同，分別對應單位質量流體、單位重量流體和單位體積流體，應用時可以靈活選擇。

在伯努利方程應用中，需特別注意其適用范圍，即穩定流動下的不可壓縮流體。這是很多同學在應用伯努利方程解題時zui容易忽視的地方，往往不加任何判斷選取兩個截面直接就列衡算方程。一般條件下的液體可認為是不可壓縮性流體，但若所處理的流體為氣體時，必須先判斷伯努利方程是否適用。若兩衡算截面間的壓力變化不超過20%，方可用于工程應用上的近似計算，并且方程式中的密度ρ 應取兩截面間平均壓力下的平均值。此外，還需要特別注意方程式中的壓力P1、P2，除了要求兩者單位統一外，還必須要求其表達方式也一樣，即同為絕壓，或同為表壓。

2、伯努利方程的應用

伯努利方程是流體流動的基本方程式，其應用范圍很廣，可用于確定設備間的相對位置、流體流量、輸送機械的有效功率等。下面根據單位質量流體的伯努利方程，就習題中可能會遇到的問題，將其應用分為基本應用和擴展應用分別加以討論，如圖1 所示。

圖1 伯努利方程應用示意圖

2．1 基本應用

2．1．1 確定設備間的相對位置ΔZ

ΔZ可用于確定為達某種流體輸送目的，兩設備需滿足的相對位置。此類問題在習題中通常以求解高位槽液面高度的形式出現。根據題意，確定方程式中其他各項的值，即可解出ΔZ。

2．1．2 確定管道中流體的流量qv

伯努利方程中的u 為流體在管中的平均流速，結合連續性方程( qm=ρAu 或qV=Au) ，即可確定管道中流體流量。

2．1．3 計算管路中各點的壓力P或壓力差ΔP
通過在管路中某點所在截面A 與某已知壓力截面B 之間列伯努利方程，即可確定某點的壓力?；蛲ㄟ^在管路中任意兩截面間列伯努利方程來確定兩截面間的壓力差。

2．1．4 確定輸送機械的有效功率及軸功率

方程中W指單位質量流體從流體輸送泵處獲得的有效機械能，將W值乘以質量流量即為輸送機械的有效功率Ne，再除以泵的效率即為所需泵的軸功率N。根據N 或Ne值可以選擇合適的輸送機械。

2．1．5 確定管路中流體的流動方向

管路中流體的總機械能ΔE 為流體的位能、動能和靜壓能之和。流體在管路中流動時，因存在阻力，其流動方向總是沿著機械能降低的方向。因此，通過計算兩截面上的總機械能，可以判斷流體流動方向。

2．1．6 確定阻力損失

方程中Σhf為兩衡算截面間的總阻力損失，包括直管阻力和局部阻力。通過伯努利方程，可以確定管路中某段管路的阻力損失。此外，管路中流體流動阻力還可以通過阻力公式直接計算獲得。

2．2 擴展應用

2．2．1 流量測量

與靜力學基本方程聯用，用于管路中流體流量的測量?；どa中常用的流量計( 包括測速管、孔板流量計、文丘里管流量計、轉子流量計等) 都是利用流體流動過程中機械能轉化原理而設計的。例如，孔板流量計就是利用流體流經孔板時，靜壓能轉換為動能，產生壓力差，再通過測量此壓力差來實現流量的測量。

2．2．2 管路計算

管路計算就是綜合運用伯努利方程、連續性方程、摩擦阻力損失計算式、摩擦系數計算式等解決實際生產中常遇到的管路系統的設計和操作問題。管路系統可分成簡單管路和復雜管路，這里只討論簡單管路。簡單管路包括等徑管和串聯管，常遇到的管路計算問題主要包括以下三種。

①摩擦阻力損失Σhf的計算( 已知l、d、ε/d、qv( 或u) ，求Σhf) ，這類計算相對簡單，先根據u 計算出Re，再根據Re 和ε/d計算或查圖求出λ，zui后根據阻力計算公式解出Σhf即可。

②流量計算( 已知l、d、ε/d、Σhf，求qv( 或u) ) ，為避免試差計算，可以將阻力公式和Re 計算式代入λ 的經驗計算式，如布拉修斯( Blasius) 關聯式、考萊布魯克( Colebrook) 關聯式以及哈蘭德( Haaland) 關聯式等，解出流速u。需特別注意的是解出流速u 后，需要驗算所采用經驗公式的適用條件是否滿足。

③管徑計算( 已知l、Σhf、ε、qv，求d) ，這類問題較復雜，因Re = duρ /μ 與ε /d 中都有d，需要用試差法計算。首先根據題意，找出λ 和d 的關系式，即試差等式，然后按照圖2 所示方法進行試差，計算出所需管徑。在實際應用中，應根據具體的設計需要，選用總費用( 包括動力費和設備費) zui省的管徑，即適宜管徑。

圖2 試差過程示意圖